第135章 原来到达山顶的路是这样的

  他想起陶哲轩报告中提到的“关联函数”概念。

  对於素数分布，可以定义两点关联函数r(k) = lim (1/n) Σ x_p(n)x_p(n+k)，其中x_p是素数的特徵函数。

  哈代—李特尔伍德猜想给出了r(2)的渐近形式：r(2) ~ c·n/(log n)^2，其中c≈1.32是孪生素数常数。

  这个常数c是怎么来的？

  它是n_{p＞2} (1 1/(p—1)^2)。这个乘积收敛到1.32...。

  肖宿盯著这个乘积，突然意识到什么。

  这个形式，和顾—辛框架中加权度量的正规化项很像！

  他的笔快速动了起来：

  c = n_{p＞2} (1 1/(p—1)^2) = exp[ Σ_{p＞2} log(1 1/(p—1)^2) ]

  而log(1 1/(p—1)^2) ~ —1/p^2 当p很大时，所以这个级数收敛。

  如果把加权度量中的权重w(p)取为log(1 1/(p—1)^2)，那么正规化后的距离d?就会与c有关。

  肖宿开始重新定义。

  设w(p) = —log(1 1/(p—1)^2) 对於p＞2，对於p=2需要单独处理。

  这个权重是正的，因为1 1/(p—1)^2 ＜ 1，所以log为负，加负號后为正。

  当p很大时，w(p) ~ 1/p^2，所以Σ w(p)收敛。